UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2014/2015

MATA KULIAH       : GEOMETRI TRANSFORMASI

HARI/TANGGAL     : SENIN, 20 OKTOBER 2014

WAKTU                     : 13.00-14.40 WIB

Kerjakan soal berikut:

1.      Misalkan f:V=V, dengan korespondensi tiap titik A (x,y) = A’(y,x), untuk setiap x,y elemen R. Tunjukan bahwa f suatu transformasi isometri

2.      Misalkan T₁: V=V dan T₂: V=V dengan T₁(A(x,y))=A’(y,x) dan T₂(B(x,y))=(y,-x) untuk setiap x,y elemen R.

(i)                 Tentukan T₃₌T_{1 o} T₂ dan T₄₌T_2o T₁

(ii)               Apa yang Anda ketahui tentang transformasi T₃ dan T₄

3.      Diketahui:

(i)                 Suatu transformasi T^(-1) disebut transformasi identitas jika dan hanya jika untuk setiap P elemen V berlaku E(P)=P

(ii)               Suatu transformasi T^-1 disebut transformasi balikan dari transformasi T jika dan hanya jika T^-1oT= ToT^-1= E

(iii)             Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri disebut suatu involusi

Ditanyakan:

a)      Buktikan bahwa setiap transformasi T memiliki sebuah transformasi balikan!

b)      Berikan 2 contoh involusi!

Jawaban:

1.      Untuk menunjukan bahwa f adalah transformasi isometric maka f harus memenuhi:

§  f adalah fungsi

§  f adalah fungsi surjektif

§  f adalah fungsi injektif

§  f itu mempertahankan jarak

Untuk membuktikan f adalah fungsi, surjektif, dan injektif (fungsi bijektif) saya percaya kepada pembaca bahwa sudah paham mengenai pembuktian tersebut. Selanjutnya tinggal menunjukan bahwa f tersebut mempertahankan jarak.

Ambil sebarang A(x₁,y₁) dan B(x₂,y₂) elemen V. Berdasarkan definisi diperoleh:

fA (x₁,y₁) = A’(y₁, x₁) dan fB ((x₂,y₂) = A’(y₂, x₂) seperti yang ditunjukan gambar berikut: