Ujian Tengah Semester Struktur Aljabar

Hari/Tanggal     : Senin, 28 Oktober 2013
Ruangan           : FPMIPA B Universitas Pendidikan Indonesia
Kelas               : Matematika A 2013

1. Diketahui Q⁺adalah suatu Grup dengan operasi * dengan x*y = 1/x + 1/y , dan x,y ϵ Q⁺ 
  a.   Tentukan apakah Q⁺ dengan operasi * bukan himpunan kosong? 
  b.   Apakah T dengan operasi * termasuk operasi biner, bersifat asosiatif, memiliki  identitas dan                         memiliki invers?
  c.    Berdasarkan jawaban a dan b, apa yang dapat saudara simpulkan?

2.  a.  Tunjukan jika  x ϵ G dengan x2=e maka G memiliki sifat komutatif   
      b. Diketahui, 0(b)=2 dan (a*b)2=e Tunjukan bahwa             
          i)     a*b*a=b              ii)   (a²*b)²=e

3.     Diketahui G={ (a,b)  I a,b ϵ R,b≠0} operasi * didefinisikan (a,b)*(c,d)=(a+bc,bd) untuk (a,b),                    (c,d)∈G. Apakah T={(a,b)∈G Ia=1} merupakan subgrup dari G? Jelaskan!

4.     Misalkan <a>,<b>,<c> berturut-turut adalah grup siklis dengan order 6, 9, dan 12, tentukan semua              generator dari <a>,<b>,<c> !


 Yuk Kawan, coba kita kaji yaa.....

1.  a)  Himpunan Q⁺ bukan himpunan kosong , karena paling tidak terdapat x,y ϵ Q⁺ dengan x=a/b=1/2 dan y=c/d=2/3 maka diperoleh bahwa Q⁺  dengan operasi * mempunyai anggota.

b) akan ditunjukan sifat-sifat dari Q⁺  dengan operasi *
i.) ambil sebarang x,y ϵ Q⁺ akan dibuktikan x*y = 1/x + 1/b ϵ Q⁺
 x ϵ Q⁺ y ϵ Q⁺ maka 1/x + 1/y ϵ Q⁺ , maka terbukti bahwa Q⁺ dengan operasi * bersifat tertutuf (operasi biner)
ii) ambil sebarang x,y,z ϵ Q⁺ akan dibuktikan bahwa (x*y)*z=x*(y*z)

• (x*y)*z = (1/x + 1/y) * 1/z = 1/(1/x + 1/y) + 1/z = 1/(x+y)/(xy) + 1/z = xy/(x+y) + 1/z = xyz/z(x+y) + x+y/z(x+y) = x+y+xyz/z(x+y)
• x*(y*z) = 1/x * (1/y+1/z = 1/x + 1/(1/y+ 1/z)= 1/x+ 1 /y+z/(yz) = yz/(y+z) + 1/x = xyz/x(y+z) + (y+z)/x(y+z) = y+z+xyz/x(y+z)

karena (x*y)*z≠x*(y*z) maka tidak bersifat asosiatif

iii) ambil sebarang x ϵ Q⁺ dan e misalkan elemen identitas di  ϵ Q⁺ akan dibuktikan x*e=x=e*x

 x*e=x 

1/x + 1/e = x

1/e = x - 1/x

1/e =x²-1/x

e = x/(x²-1)

karena jika x=1 maka e tidak terdefinisi artinya Q^{+ dengan}operasi * tidak memiliki elemen identitas

iv)suatu himpunan Q^{+ m}emiliki inves jika memiliki elemen identitas. karena Q⁺ tidak memiliki elemen identitas maka tidak memiliki invers

c. dari jawaban a dan b dapat disimpulkan bahwa Q⁺dengan operasi * bukan suatu grup melainkan grupoida karena hanya Q⁺ memiliki sifat ketertutupan, 

3.( T bukan subgrup dari G)

i) T bukan himpunan kosonh
ii) T merupakan himpunan bagian dari G jelas berdasarkan definisi
iii) buktikan terlebih dahulu bahwa T adalah sebuah grup

•   ambil sebarang (1,b), (1,d) ϵ T akan dibuktikan bahwa (1,b)*(1,d) ϵ T

 (1,b)*(1,d)=(1+b,bd) , karena  1+b ϵ R, bd ϵ R maka terbukti bahwa T dengan operasi * memiliki sifat ketertutupan.

• Ambil sebarang x=(1,b)  ϵ T dan e = elemen identitas di T akan ditunjukan bahwa x*e =x=e*x

x*e =x
(1,b)*(c,d) = (1,b)
(1 + bc , bd) = (1,b)

1 + bc = 1
bc = 0
c = 0

bd = b
d = 1

sehingga diperoleh e = (c,d) = (0,1) berdasarkan definisi c haruslah sama dengan 1, karena c ≠ 1 , maka e tidak berada di T, maka T tidak memiliki elemen identitas.

karena T tidak memiliki elemen identitas maka T bukan suatu grup

T bukan suatu grup, oleh karena itu T bukan subgrup dari G.

4. generator dari <a> yaitu a, a⁵

generator dari <b> yaitu b, b², b⁴, b⁵, b⁷, b⁸

generator dari <c> yaitu     c, c⁵, c⁷, c¹¹